DÜZGÜN SEKİZ YÜZLÜ

2008-11-06 16:57:00
Platonik Cisimler
Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere Düzgün Katı Cisim denir. Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platon (Eflâtûn)’un isminden esinlenerek Platonik Cisimler de denilmiştir. Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir. Bunlar: düzgün dörtyüzlü, altı yüzlü(küp), sekizyüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü. Platon'un söylediği başka bir düzgün katı yok.

Platon bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre: Her yüzü bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü ateşi, sekizyüzlü havayı, yirmiyüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı.

Çokyüzlüler içinde özellikle düzgün olanları insanların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binlerce yıl öncesine ait taştan yapılmış düzgün çokyüzlüler bulunmuştur. Bunca yıl uğraşılmış olmasına karşın sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çokyüzlüler bulma yönündeki çabalar, Öklid’in "Elemanlar" adlı kitabında bunun başarılamayacağını ispatlaması ile son bulmuştur. Sonuç olarak düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden 3 tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır.

Beş Katı Cismin özellikleri
  1. Tüm yüzeyler düzgün çokgendir
  2. Bir köşede kaç yüz birleşiyorsa diğer köşelerde de o kadar yüz birleşmelidir
  3. Bütün yüzeyler aynı büyüklükte ve eşit olmalıdır.


İLGİNÇ BİR SORU:

Acaba bir portakalı klasik yöntemin (ortadan iki kesişte bölme) dışında eşit dört parçaya bölebilir miyiz?

Çözüm:

Yanıt, bir düzgün dörtyüzlünün çevrel küresinde saklıdır. Eğer bu kürenin merkezine bir ışık kaynağı yerleştirirsek ve düzgün dörtyüzlünün kenarlarının küre üzerine gölgelerini düşürürsek birbirine eş dört parça elde ederiz. İşte bu parçalar yardımıyla küreyi (portakalı) dört eşit parçaya bölebiliriz. Tabi bu yöntem yardımıyla portakalınızı 6, 8, 12 ya da 20 eşit parçaya da bölebiliriz. Tek yapmamız gereken dörtyüzlü yerine diğer Platon katılarını kullanmak.

Konveks Çokyüzlüler

Eğer çokyüzlünün herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası yine bu yüzlünün içinde kalıyorsa, bu çokyüzlüye konveks (dışbükey) çokyüzlü denir. Konveks çokyüzlülerin yüz, ayrıt ve köşe sayıları arasında Euler Teoremi olarak bilinen bir bağıntı vardır.

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayırt Sayısı=2

Her bir çokyüzlü için K + Y − A sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu sadece Platon katıları için değil tüm konveks çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. (İspatı tümevarım ile yapılabilir)

Bazı bilim adamlarına göre, bu bağıntı Descartes’a aittir. Bunu ileri sürmelerinin sebebi de, Descartes’a ait olan bir teoremin doğrudan sonuçlarından birinin de yukarıdaki bağıntı olmasıdır. Ancak bu bağıntıyı ilk kez 1750 yılında açıkça ortaya atan kişi Euler olduğu bilinmektedir. Euler’in amacı, çokyüzlüleri sınıflandırabilmekti. Ancak bunu yapabilmek için sadece yüzlerin sayısı yeterli değildi; ayrıt köşe sayıları da incelenmeliydi. İşte Euler incelemeleri sırasında bu üç sayı arasındaki bağıntıyı keşfetti. Bağıntının kesin ispatı ise ancak 1847 yılında C.von Saudt tarafından yapılabildi.

Şimdi de doğada (ya da Euler Geometrisinde) sadece 5 tane düzgün çok yüzlü olduğunu ispatlayalım:

Köşe sayısı K, ayrıt sayısı A, yüz sayısı Y ve her bir köşede birleşen ayrıt sayısı da q, her bir yüzü oluşturan ayrıt sayısı da p olmak üzere:

Bir düzgün çokyüzlüde her köşede birleşen ayrıt sayısı q ile köşe sayısı olan K’nin çarpımı ya da her yüzün kenar sayısı p ile yüz sayısı Y’nin çarpımı bu çokyüzlünün ayrıt sayısının iki katını yani 2A’yı verir. Bu eşitliklerin yardımıyla Euler Formülündeki K yerine 2A / q ve Y yerine 2A / p yazabiliriz.

K + Y - A = 2 * A / q + 2 A / p – A = 2 (2A ile sadeleştirelim) 1 / A = 1 / q + 1 /p - 1 / 2 * 1 /A pozitif olduğundan: 1 / q + 1 / p > 1 / 2 olmalıdır. p ve q tanımlarından dolayı ikiden büyük sayılardır.

Bulduğumuz eşitsizlikten dolayı her ikisi birden üçten büyük olamaz. Bu durumda en az biri, üç olmalıdır. Sonuçta olabilecek tüm {p,q} ikilileri şunlardır: {3,3}; {3,4}; {4,3}; {3,5}; {5,3}.

Elde ettiğimiz beş farklı {p,q} ikilileri beş farklı düzgün çokyüzlüye karşılık gelir:

  • {3,3} düzgün dörtyüzlü
  • {3,4} küp
  • {4,3} düzgün sekizyüzlü
  • {3,5} düzgün onikiyüzlü
  • {5,3} düzgün yirmiyüzlü

1917
0
0
Yorum Yaz

Get your own Chat Box! Go Large!